20231217数学考试

复习

线性代数

  1. 特征值求法：先写出 lamdaE-A，之后求出行列式的值，得到多项式。求特征值之前不能进行行列变换。
  2. 逆矩阵特征值是原矩阵特征值倒数

概念

第一章

diag 对角矩阵
C[a,b]，P[a,b] :Cab 是闭区间 ab 上所有连续函数的集合，Pab 是闭区间
linf 是全体实 (复) 的有界数列的集合，有界数列空间。

第二章

det 行列式
trA：A 的特征值之和，称为 A 的迹 ，也是主对角线所有元素的和。
A−1 逆矩阵，AA−1=E
不变因子：smith 标准型每一项
行列式因子：从第一项乘到低 k 项，作为第 k 个行列式因子，也就是前 k 行 k 列的行列式的值。
初等因子组：从第一项开始，分解公因式后写出每一个公因式，初等因子组中很可能会有相同的两项。

第三章

范数：就是一种距离的约定，类似绝对值
cauchy 序列：项数无限大时，任意两项距离无限小
收敛：limn−>infxn=x0
完备 banach：任意一个 cauchy 序列都收敛的赋范空间

定理

第一章

detA=特征值乘积
可逆 == 矩阵的行列式不为 0 == 矩阵满秩 == 非奇异
n 个不同的特征值 --> n 个线性无关的特征向量（反之不成立）

第二章

对于多项式矩阵，可逆 -->满秩（非奇异）（反之不成立）
若当标准型，看的是初等因子组
有理标准型，看的是不变因子
最小多项式，就是不变因子最后一项

第三章

有限维线性空间上，任意两种范数是等价的。

R、C 都是完备的，Q（有理空间）不完备
完备=所有 cauchy 序列都收敛=绝对收敛的级数都收敛
有限维赋范空间都是完备的，任何赋范空间的有限维子空间都是 banach 空间
lk 从 1 到无穷，都是完备的
C[a,b] 无限维赋范空间是完备的，定义为积分形式就不完备了。P[a,b] 无限维不完备

定义在有限维赋范空间上的线性算子都是有界的。
有限维赋范空间
微分算子在 C1[a,b] 上是无界线性算子
积分算子在 C[a,b] 上是有界线性算子
线性算子有界=线性算子在任意一点连续

算子范数满足次乘性

有界线性算子空间 B(X,Y) 是完备的，当且仅当 Y 完备

方阵范数和谱半径

算子范数一定是方阵范数，反之不成立。
无穷范数：行范数，每一行绝对值求和，看哪一行最大
1- 范数：列范数，每一列绝对值求和，看哪一列最大
2- 范数：谱范数，根号ρ(A^HA)

第四章

微分与积分

矩阵求导就是分别求导
矩阵求积分就是分别求积分
多元向量值函数的导数：

方阵序列

方阵函数

Euler 公式等，P144


方阵函数值的计算

最小多项式就是 lamdaE-A 的行列式的值化简成最小公因式乘积。

第六章线性方程组

cond A：A 的逆矩阵的范数乘 A 的范数
A 是实矩阵且非奇异，则 cond2A = 根号下（A^TA 的最大特征值/ A^TA 的最小特征值）
行对角占优矩阵：对角线元素大于该行其他元素绝对值之和。行对角占优或列对角占优都是对角占优。
当 A 对角占优，jacobi 迭代矩阵ρ(M)<1。当 A 行对角占优，jaobi 迭代矩阵||M||无穷范数 (行范数)<1。(A 对角占优，jacobi 迭代收敛)
迭代格式收敛条件是 M^k 在 k 趋于无穷时为 0 矩阵，也就是ρ(M)<1，也就是有范数小于 1
对于收敛的 M，有误差公式，M 愈小，收敛的愈快。 ||xk−x∗||<=||xk−xk−1||∗||M||/(1−||M||)
要记住 Jacobi 和 Gauss-Seidel 两种方法的 M1、f1、M2、f2

第七章插值法与数值逼近

largrange 插值
f(x) 恒等于 1，则 1 到 n 求和 l_k(x)=1
newton 插值公式
x0 到 xn 的差商（n 阶差商）=f 的 n 阶导/n!

第九章常微分方程数值解法

稳定性判断
ruler 稳定：(0,-2/lambda]
rungekutaa:(0,-2.78/lambda]

草稿

[102|0013|0000|0000|0]