2021数学建模三校区联赛

B 题 设备投放问题
来源：2021 年青岛大学数学建模竞赛

由于抗灾抢险的需要，某公司计划向某山区投放一批设备。设备
的件数和重量在表 1 中给出。
表 1：计划投放设备信息
设备
件数
10
重量 (kg/件)
设备 A
设备 B
设备 C
设备 D
220
100
69
15
64
51
45
设备需要空运到指定位置，分组装箱空投。空投物质需要订购降
落伞和制作空运箱体，降落伞有 3 种不同规格，详情见表 2。
规格
大
伞面面积 (m
2
)
价格 (元)
2500
40
25
18
中
1680
小
1100
箱体的大小和形状可以根据空投的物质的重量定制，重量越大箱
体的成本越高。根据测算，按照不同重量，空投物质对应的箱体价格
和重量见表 3。
表 2：降落伞的规格和单价

表 3: 箱体价格、装载重量和自重的关系表
装载重量 (kg) 40 80 100 120 150 180 200
箱体价格 (元) 36 60 68 74 80 86 90
箱体自重 (kg) 2
3.6 4.2 4.6 4.9 5.1 5.2
由于设备较重，箱体的尺寸与降落伞的面积相比小得多。空投设
备在距离地面 500m 的高空投放。根据经验，空气阻力与飞行速度及
降落伞的伞面面积成正比。为了保证设备的安全，空投设备的落地瞬
间速度不能超过 12m/s。
为了降落伞的规格的选择需要，我们进行了对 500m 高空利用中型
降落伞投放 300kg 物体的试验，得到的数据见表 4。抛投时的飞机水
平速度为 120m/s。
表 4：不同时刻物体在空中位置
t
x
y
t
x
y
0
0
3
6
9
12
15
18
256 380.1 440.2 470 482 490
500 476 437 398 359 318 279
21 24 27 30 33 36
493 495 495.8 496.2 496.4 496.5
236 197 157 117 76 37
x: t 时刻距抛投处的水平距离。 y: t 时刻的物体高度。

飞机在以 120m/s 的速度水平飞行时将挂有设备的降落伞抛出机舱。
降落伞可以回收，三种降落伞的回收价分别是 500 元、300 元和 200
元。
问题 1：如何进行设备的搭配装箱，可使投放的费用最低？
问题 2：如果要将设备投放在指定地点，飞机的投放位置应如何选择？

解法

2021 三小区建模 b 题
可以尝试通过 01 规划，规划出每个降落伞最多可能有多少个，为每个降落伞创建一个变量，用 0，1 表示这个降落伞是否存在。

问老师
老师说，可以通过将降落伞的装配方案作为一个集合，而不是将降落伞作为一个集合，这样两个集合分别代表装配的物资和装配方案，每个装配方案可能被选择任意次。
老师说，这个类似工程下料问题，那个钢筋可以切成 1 1 8 或者是 5 5 类似，每一个钢筋可以做出一个选择，那么就可以将装配方案作为一个集合。